К постановке и численному решению задач динамического поведения трехслойных неоднородніх по толщине эллипсоидальных оболочек при импульсных нагрузках

Мейш Владимир Федорович

доктор физ.-мат. наук, профессор, Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины,

Мейш Юлия Анатольевна

доктор технических наук, профессор, Национальный транспортный университет,

Майбородина Наталья Викторовна

кандидат физ.-мат. наук, старший преподаватель

Герасименко Вячеслав Афанасьевич

старший преподаватель

ОП Национального университета биоресурсов и природопользования Украины “Нежинский агротехнический институт”

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ (Машиностроение)

 К постановке и численному решению задач динамического поведения трехслойных неоднородніх по толщине эллипсоидальных оболочек при импульсных нагрузках

Рассматривается неоднородная упругая структура, представляющая собой трехслойную, неоднородную по толщине, эллипсоидальную оболочку. При построении математической модели процесса динамического деформирования трехслойной конструкции используется вариант теории оболочек типа Тимошенко. Исходная эллипсоидальная оболочка, имеет следующие геометрические соотношения срединной поверхности [1-5]

x = Rsin a₁ sin a₂ ;

y = Rsina₁ cosa₂ ;

z = kRcosa₁,                    (1)

где параметры

a₁, a₂

представляют собой гауссовы криволинейные

координаты на поверхности оболочки, причем координата

a₁ соответствует

меридиальному направлению, а a₂

• окружному направлению;

k = b / a   –

параметр эллиптичности; a, b – полуоси эллипса. Выражения для компонент

метрики и формы срединной поверхности оболочки имеют вид

a11 = R² (cos² a₁ + k ² sin ² a₁) ;

b11 = kR(cos² a1 + k ² sin ² a1 )^{–1/ 2} ;

a22 = R² sin ² a₁ ;                (2)

b22 = kRsin ² a₁(cos² a₁ + k ² sin ² a₁)^{–1/ 2} .

Согласно формулам (2) коэффициенты первой квадратичной формы и кривизны срединной поверхности эллипсоидальной оболочки имеют следующий вид:

 

 

b

A1 = a(cos² a1 + k ² sin² a1)^{1/ 2} ,

A2 = asin a1

;                               (3)

 

 

b

k1 = –

a2

(cos² a1

• k ² sin ² a1

)-3 / 2 ;

k2 = – a2

(cos² a₁

• k ² sin ² a₁

)-1/ 2 .

В качестве математической модели процессов вынужденных колебаний трехслойной эллипсоидальной оболочки рассмотрена гиперболическая система нелинейных дифференциальных уравнений теории оболочек типа Тимошенко. Принимается, что закон изменения перемещений по толщине эллипсоидальной

оболочки в системе координат (s1 , s2 , z)

имеет вид

u^z (s , s

, z) = u (s , s

) + zj (s , s

) ;                          (4)

1       1      2

1      1      2

1      1      2

u^z (s , s

, z) = u

(s , s

) + zj

(s , s  ) ;

2     1      2

2      1      2

2      1      2

u^z (s , s , z) = u (s , s ) ,

3       1      2                    3      1      2

где

u1 ,u2 ,u3 , j₁,j₂

– компоненты обобщенного вектора перемещений

оболочки;

s1 = a₁A1 ,

s2 = a₂ A2 .

Напряженно-деформированного состояния упругой структуры описывается с использованием геометрически нелинейного варианта теории оболочек в квадратичном приближении [1].

Уравнения колебаний гладкой оболочки в дифференциальной форме имеют вид

1 é ¶

¶A2        ù                 1    ¶

¶²u1

¶²j1

A  ê¶ s

( A2T11) – ¶ s

T22 ú + k1T13 + A ¶ s

( A1T21) = І1 ×

¶t ²

+ І2 ×

¶t ²

;     (5)

2 ë    1                             1         û                  1        2

1 é ¶

¶А2         ù                  1    ¶

¶²u2

¶²j2

A ê¶ s

( A2T12 ) – ¶ s

Т21ú + k2T23 + A ¶ s

( A1T22 ) = І1 ×

¶t ²

+ І2 ×

;

¶t ²

2 ë    1

1    ¶

1         û                   1        2

1    ¶

¶²u3

A2 ¶ s1

( A2T13) – k1T11 – k2T22 +

A1 ¶ s2

( A1T23 ) + Р3 = І1 ×

¶t ² ;

 

1 é ¶

 

 

¶A2           ù              1    ¶

 

¶²u1

 

¶²j1

 

A  ê¶ s

( A2 M11) – ¶ s

M 22 ú – T13 + A ¶ s

( A1М 21) = І2 ×

¶t ²

+ І3 ×

;

¶t ²

 

2 ë    1                                1            û               1        2

 

1 é ¶

 

 

¶А2

ù     1    ¶

 

¶²u2

¶²j2

 

A  ê¶ s

( A2 M12 ) + ¶ s

М 21ú + A ¶ s

( A1М 22 ) – T23 = І2 ×

¶t ²

+ І3 ×

;

¶t ²

 

2 ë    1                                1           û       1        2

 

І                                           І         z 2

• z ²

_І       z3

• z³

 

I1  = årіhі  ;

I2  = årі     і+1         і    ;

I3  = årі     і+1         і   .

 

і=1

і=1               2

і=1               3

 

Уравнения колебаний (5) дополняются соответствующими граничными условиями и нулевыми начальными условиями.

Построение численного алгоритма основано на совместном использовании интегро-интерполяционного                    метода                                                      построения                                                      разностных                                                      схем         по

 

пространственным координатам

s1 ,

s₂   и явной конечно-разностной схемы

 

интегрирования типа “крест” по временной координате t [1, 3].

Выполняя операцию интегрирования уравнений (5), используя явную аппроксимацию по временной координате, получим разностные уравнения.

Компоненты обобщенного вектора перемещений U  = (u1,u2 ,u3 ,j₁,j₂ )соотнесем

к целым точкам разностной сетки по пространственным переменным, а компоненты обобщенного тензора деформаций и усилий к полуцелым точкам сетки. Такой подход позволяет сохранить дивергентную форму разностного представления дифференциальных уравнений, а также и выполнение закона сохранения полной механической энергии на разностном уровне [1, 6]. Переход от непрерывной системы к конечно-разностной выполняется в два этапа. Первый этап состоит в конечно-разностной аппроксимации дивергентных уравнений колебаний в усилиях-моментах. Второй этап аппроксимации уравнений состоит в конечно-разностных аппроксимациях величин усилий-моментов и соответствующих деформаций. Аппроксимация выполняется таким образом, чтобы выполнялся конечно-разностный аналог энергетического уравнения [1].

В качестве числового примера исследуется динамическое деформирование

трехслойной эллипсоидальной оболочки с жестко защемленными краями в

 

области

D = {a10  £ a1  £ a1N  ,

a20 £ a2 £ a2N }

при   действии   распределенной

 

нормальной нагрузки

P3 (a₁,a₂ ,t). Решение задачи рассматривается для случая

 

a

b

параметра   k =       = 1,5 . Геометрические и физико-механические параметры

 

однослойной оболочки:

 

a   = p ;   a

= p – p ;   a    = – p ;

a     = p ;    а = 30 ;

h = 0,5 ×10^-2 ;

 

10      12        1N

12        ²⁰        2

2 N       2      h

 

E1 = Е2

= 7 ×10¹⁰ Па ;

n₁₂ =n ₂₁ = 0,33;

r = 2,7 ×10³ кг / м³ .

 

Геометрические     и     физико-механические                   параметры            трехслойной оболочки:

 

a   = p ;    a

= p – p ;    a    = – p ;

a     = p ;    а = 30 ;

h = h  + h  + h

 

10      12        1N

12         ²⁰        2

2 N       2       h

1           2           3

 

;          h1 = h3 =10^–2 ;

h2  = 3 ×10^–2 ;

E1

 

E¹ = 7 ×10¹⁰ ;

E¹ = E¹;

E 2 =      1     ;

E ² = E ² ;

 

1

 

n

=n

1          1

12         21

 

2          2

=n

=n

12         21

2            1

 

=n

=n

3          3

12       21

1= 0,33 ;

1000

2     1

r₁ = r₃= 2,7 ×10³ кг / м³ ;

r₂ = 3 ×10² кг / м³ .

Предполагается провести сравнительный анализ результатов расчетов величин

u3 , e ₂₂ , s ₂₂ на временном интервале

t = 40T

для случаев однослойной и трехслойной оболочек.

Список використаних джерел:

1. Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. Динамика неоднородных оболочек при нестационарных нагрузках/ под ред. Акад. НАН Украины А.Н. Гузя. – К.: Изд. – полиграф.центр «Киевский ун-т», – 541 с.
2. Lugovoi P.Z., Meish V.F. Dynamics of Inhomogeneous Shell Systems Under Non-Stationary Loading (Survey) // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 5. – P. 481 –
3. Meish, F., Maiborodina N.V. Nonaxisymmetric vibrations of ellipsoidal shells under nonstationary distributed l oads// International Applied Mechanics, 2008, 44 (9), pp. 1015–1024.
4. Meish, F., Maiborodina, N.V. Stress State of Discretely Stiffened Ellipsoidal Shells Under a Nonstationary Normal Load// International Applied Mechanics, 2018, 54 (6), pp. 675–686.
5. Meish F., Meish Yu.A., Belova М.А. Nonstationary Dynamics of Elliptic Isotropic Conical Shells under Distributed Loads // Int. Appl. Mech. – 2020. – 56, N 4. – P. 424-431.
6. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, – 656с.