екології з використанням комп’ютерних технологій

Захарійченко Олег Юрійович

студент 3 курсу, спеціальність 275«Транспортні технології» Національний транспортний університет

 Математичне моделювання класичних задач

екології з використанням комп’ютерних технологій

В екології можна виділити три основні частини:

• емпірична частина містить фактичні відомості, які отримані в експериментах та спостереженнях, а також із первинної систематизації;
• теоретична частина розвиває основні концепції, що дозволяють об’єднати та пояснити з єдиних позицій емпіричні закономірності та явища;
• математична частина конструює математичні моделі, які використовуються для перевірки основних теоретичних концепцій, дає методи обробки експериментальних даних і планування експериментів та спостережень [1].Математичне моделювання стимулює накопичення фактичного матеріалу, уточнює напрямок експериментів. Одним із класичних об’єктів математичної екології є система «хижак – жертва». Розглянемо найпростішу модель «хижак – жертва», що описує сумісне існування двох біологічних видів (популяцій) – хижаків та їхніх жертв, яка називається моделлю Вольтерра – Лотки. Вперше вона була отримана А. Лоткою (1925 р.), американцем польського походження, який використовував її для описування динаміки біологічних популяцій, що взаємодіють. Пізніше і незалежно від А. Лотки аналогічні (і більш складні) моделі були розроблені італійським математиком В. Вольтерра (1926 р.), дослідження якого в області екологічних проблем заклали фундамент математичної теорії біологічних співтовариств або математичної екології. Модель, яку розглядаємо, цікава тим, що з неї почалася математична екологія [1].

1. Постановка задачі Вольтерра – Лотки «хижак – жертва». Нехай є два біологічних види, які сумісно існують в ізольованому середовищі. Середовище стаціонарне і забезпечує в необмеженій кількості всім необхідним для життя один із видів, який будемо називати жертвою. Другий вид – хижак також знаходиться в стаціонарних умовах, але харчується лише особинами першого виду. Нехай це будуть карасі та щуки, що живуть в деякому ізольованому озері. Середовище дає карасям харчування в необмеженій кількості, а щуки харчуються лише карасями.

Позначимо через y – кількість щук, через x – кількість карасів. З часом кількість карасів та щук змінюється, але так як риби в озері багато, будемо

вважати x та y неперервними функціями часу t . Назвемо пару чисел (x, y)

станом моделі. Проаналізуємо як цей стан змінюється з часом.Розглянемо dx dt

– швидкість зміни чисельності карасів. Якщо щук немає, тоді кількість карасів збільшується і тим швидше, чим більше карасів. Будемо вважати цю залежність лінійною:

dx dt @ e₁x , причому коефіцієнт e₁   залежить тільки від умов життя карасів, їх природної смертності та народжуваності. Швидкість зміни dy dt

чисельності щук (якщо немає карасів), залежить від їх чисельності y . Будемо вважати, що

dy dt @ e ₂ y . Якщо карасів немає, то чисельність щук зменшується (у них немає харчів) і вони вимирають. В екосистемі швидкість зміни чисельності кожного виду також будемо вважати пропорційною його чисельності, але тільки з коефіцієнтом g , який залежить від чисельності особин другого виду.   Для   карасів   цей   коефіцієнт

g₁   зменшується   із   збільшенням чисельності щук, а для щук g ₂ збільшується із збільшенням чисельності карасів. Будемо вважати цю залежність також лінійною.

Отримаємо систему із двох диференціальних рівнянь:

ì dx = e

dt       ¹

í dy

x – g₁

yx,

ï      = -e y + g xy.

î dt

Ця система рівнянь називається моделлю Вольтерра – Лотки. Числові коефіцієнти

e1, g1, e 2 , g 2

називаються параметрами моделі. Очевидно, що характер зміни стану (x, y) визначається значеннями параметрів. Змінюючи їх і розвєєязуючи систему рівнянь моделі, можна досліджувати закономірності зміни стану екологічної системи.

2. Чисельний алгоритм розв’язку задачі. Розглянемо постановку та розв’язок задачі, яка описує модель “хижак – жертва” [2]. Математична модель, що описує популяцію карасів r(t) та щук f(t), які поїдають тільки карасів, записується у вигляді систем двох рівнянь першого порядку

r¢=2r-arf, f¢=-f+arf.

Взаємодія цих двох популяцій пропорційна добутку їх чисельностей з коефіцієнтом пропорційності a. Задача полягає в тому, щоб визначити обидві чисельності r(t) та f(t), виходячи з їх значень, які відомі в початковий момент часу t₀. Будемо розглядати задачу при a=0,01 та r(t₀)=300, f(t₀)=150.

Виходячи з загального представлення системи диференціальних рівнянь, в задачі “хижак – жертва” покладаємо:

n=2,

y1(t)=r(t), y2(t)=f(t), F1(t,y1,y2)=2y1-ay1y2, F2(t,y1,y2)=-y2+ay1y2 .

Початкові умови при t=0 для системи рівнянь першого порядку записуються наступним чином y1(0)=300, y2(0)=150.

Для даного прикладу невідома вектор–функція y складається з двох елементів y=[y1, y2].

Вектор F правих частин системи рівнянь обчислюється за допомогою m–функції Prog:

function F=Prog(t,y) alf=0.01;

F=[2*y(1)-alf*y(1)*y(2);-(2)+alf*y(1)*y(2)];

текст якої записується в файл Prog.m. Ця функція визивається кожний раз, коли потрібно обчислити праві частини рівнянь в конкретній точці t. В даній задачі величина t є скаляр, вектор y складається з двох елементів. Безпосередні обчислення і графічне зображення результатів виконуються наступними функціями

» [t,y]=ode45(‘Fox’,[0,20],[300,150]);

» plot(t,y(:,1),t,y(:,2),’g’),grid

Результати обчислень приведено на рис. 1. Нижня крива відповідає залежності чисельності карасів (на рисунку позначення – 2) від часу, верхня крива відповідає залежності чисельності щук (позначення – 1). Спостерігається, що поведінка системи періодична, з періодом T»5 одиницям часу, тобто r(5)»r(0), a f(5)»f(0).

Список використаної літератури:

1. Основи математичного моделювання в екології: навч. посіб./ А.В. Гладний, І.В. Сергієнко, В.В. Скопецький, Ю.А. Гладка. – К.: НТУУ

«КПІ», 2009. – 240 с.

2. Математичне моделювання технологічних процесів. Навчальний посібник для магістрів та студентів інженерно- технічних спеціальностей вищих навчальних закладів/ Стеблянко П.О., Мнйш В.Ф., Мейш Ю.А. – Дніпродзержинськ: ДДТУ, – 397 с.

Керівник: Мейш Ю.А., доктор технічних наук, професор,

професор кафедри вищої математики Національного транспортного університету